Osada E...

Odnośniki

Smutek to uczucie, jak gdyby się tonęło, jak gdyby grzebano cię w ziemi.

Wyklady z geodezji i geoinformatyki 3 Osnowy geodezyjne SPIS TRESCI
śr
śr
śr
1
n
1
n
Stąd, błąd średni średniej arytmetycznej dany jest wzorem:
m
m
:=
=
sr
0.0010
n
Podobnie, odchyłki jako funkcje wyników pomiarów v = x − x są zmiennymi i
i
śr
losowymi o wariancjach:
m 2 = E( x - x )2 = E( x - x + Ex - Ex)2 = E( v - ( v +...+v )/ n)2 = m 2 - m 2.
vi
i
śr
i
śr
i
1
n
śr
Zatem, błędy średnie odchyłek są jednakowe i równe:
2
2
m :=
−
=
v
m
msr
0.0017
Wartość średnia sumy kwadratów odchyłek jest równa:
EΣv 2 = EΣ( x - x )2 = E Σ[ v - ( v +...+v ) /n]2 = m 2( n - 1) i
i
śr
i
1
n
Stąd, błąd średni pojedynczego pomiaru wynosi:
n
v
( )2
∑ i
i = 1
m :=
=
0
0.0026
n − 1
Jeżeli obliczona wartość błędu pojedynczego pomiaru jest w przybliżeniu równa wartości znanej m =
≈ =
0
0.0026
m
0.002 - podanej przez producenta przyrządu
pomiarowego to wyniki pomiarów są zgodne. W tym przypadku wartość średnia i jej błąd średni x ± m są poprawne, a ochyłki v zawierają się na ogół, co do bezwzględnej śr
śr
wartości w przedziale 2 - 3 krotnego ich błędu średniego: | v| ≤ 2⋅ m =
v
0.0035 .
11
1.5. Średnia ważona
Średnia arytmetyczna ważona
Dane są wyniki niejednakowo-dokładnych pomiarów x ± m , i = 1,2,... n (rys.1.5.1).
i
i

xsr - wartość średnia
 4.006


 0.002


4.002


0.003


x := 
m :=
4.008 
 0.002
vi = xi – xsr – błąd przypadkowy




 4.004
 0.004
m
m
DISTO
sr
sr
n := 4
i := 1 . n
x – wyniki pomiarów
x2
x
x3
4
x1
i
Rys. 1.5.1.
Wartość średnia wyników pomiarów x jest wyznaczana ważoną metodą najmniejszych sr
kwadratów Σ p v 2 = p v 2 + p v 2 +..+ p v 2 = min.
i i
1 1
2 2
n n
Jako wagi przyjmuje się liczby odwrotnie proporcjonalne do kwadratów błędów średnich pomiarów p = m 2/ m 2 gdzie współczynnik m jest równy jedności m = 1 lub i
i
równy błędowi obserwacji której waga będzie równa jedności, na przykład pierwszej m := m :
1
 1.00


2
m
0.44


p :=
p =
i



2
1.00
m 



i
 0.25 
Warunek konieczny minimum p v + p v +..+ p v = 0 prowadzi do wzoru średniej 1 1
2 2
n n
arytmetycznej ważonej:
n
p ⋅ x
∑ ( )
i i
i = 1
x
:=
=
.sr
4.006
n
p
∑ i
i = 1
Otrzymane błędy przypadkowe v := x − x.sr : v = 0.0001 v = 0
− .0039
v = 0.0021
v = 0
− .0019
1
2
3
4
12
spełniają warunek konieczny minimum E p v = 0
i i
n
p ⋅ v
∑ ( ) = 0.000
i i
i = 1
Pomiary są różnej dokładności więc:
• wariancje wyników pomiarów nie są jednakowe m 2 = E v 2, natomiast i
i
• kowariancje m = E v v , i ≠ j = 1,2,... n - wyrażające zależności między ij
i j
poszczególnymi pomiarami, są z założenia równe zero: m = E v v = 0.
ij
i j
Średnia arytmetyczna ważona x jako funkcja wyników pomiarów jest zmienną śr
losową o wariancji m 2 = E( x − Ex )2 = E(Σ p v )2/(Σ p )2 = m 2/Σ p .
śr
śr
ś r
i i
i
i
Stąd, błąd średni średniej arytmetycznej ważonej dany jest wzorem:
m
m
:=
=
.sr
0.0012
n
p
∑ i
i = 1
Podobnie, odchyłki jako funkcje wyników pomiarów v = x − x są zmiennymi losowymi i
i
śr
o wariancjach m 2 = E( x − x )2 = E( x − x + Ex− Ex)2 = E( v − ( v +...+v )/ n)2
vi
i
śr
i
śr
i
1
n
= m 2 - m 2. Zatem, błędy średnie odchyłek wynoszą: i
śr
2
2
m :=
−
v
 m 
msr
i
 i
 0.0017


0.0028


m =
v
 0.0017 


 0.0039 
Wartość oczekiwana (średnia) ważonej sumy kwadratów odchyłek jest równa EΣ p v 2 = EΣ p ( x − x )2 = EΣ[ v − ( v +...+v ) /n]2 = m 2( n−1).
i i
i
i
śr
i
1
n
Otrzymana stąd wartość współczynnika m:
n


p
v
∑  ( )2
⋅ i i 
i = 1
m :=
=
0
0.00201
n − 1
powinna być równa z dokładnością do 10% wartości przyjętej do wagowania m = 0.0020 .
13
Zatem, w przypadku m ≈ m wyniki pomiarów są zgodne, otrzymana wartość średnia 0
i jej błąd średni x ± m są poprawne, a odchyłki v zawierają się na ogół, co do śr
śr
bezwzględnej wartości w przedziale 2 - 3 krotnego ich błędu średniego | v | ≤ 2 m .
i
vi
1.6. Średnia odporna
Średnia odporna na obserwacje odstające
Dane są wartości wyników pomiaru odległości x , x ,.. x dalmierzem o błędzie średnim 1
2
5
pojedynczego pomiaru m := 0.0025 m (rys. 1.6.1). Obserwacja x wyraźnie odstaje od 5
pozostałych, jest obciążona błędem grubym (rys. 1.6.1).

 4.006


E x - wartość oczekiwana
4.002
wyniku pomiaru


x :=  4.008 


v = x – E x – błąd przypadkowy
4.004


wyniku pomiaru
 4.040
m
m
DISTO
n := 5
i := 1 . n
x
x
2
4 xsr
x 1
x 3
x – wynik pomiaru
x 5

Rys. 1.6.1.
W takich przypadkach, po obliczeniu wartości średniej poprawki obserwacji odstających v będą miały duże wartości, warunek | v| ≤ 3 m nie będzie spełniony przez te v
obserwacje. Obliczenia wartości średniej są kontunuowane odrzucając za każdym razem obserwację odstającą o największej wartości poprawki v aż do spełnienia kryterium
| v| ≤ 3 m przez pozostałe obserwacje.
v
Inny sposób polega na iteracyjnym obliczaniu średniej ważonej, przypisując na każdym kroku obserwacjom odstającym coraz to mniejsze wagi, w zależności od ich rosnących odchyłek v. W ten sposób ich wpływ na wyznaczaną wartość średnią jest minimalizowany - tak jakby były odrzucane. Można to osiągnąć na różne sposoby, na przykład przez powiększanie błędów obserwcji odstających m dla których | v | > 3 m , i
i
i
o ich odległość od granicy przedziału ufności: | v | - 3 m . W tym przypadku modyfikacja i
i
błędów średnich wszystkich obserwacji następuje na każdym koroku iteracji według zależności:

m
v
m
3
i
i ≤
mi = 
i
 m
( v
m
3
)
v
m
3
i +
i −
i
i >
i
natomiast wag:
14